Ilustrasi Gerbang Logika Dasar dalam Aritmatika Digital
Aritmatika digital adalah fondasi matematika yang mendasari cara kerja semua sistem komputasi modern, mulai dari ponsel pintar hingga superkomputer. Berbeda dengan aritmatika analog yang berurusan dengan besaran kontinu, aritmatika digital beroperasi secara eksklusif pada nilai-nilai diskret, yaitu representasi biner yang terdiri dari hanya dua keadaan: 0 (mati/rendah) dan 1 (hidup/tinggi). Pemahaman mendalam tentang prinsip ini sangat krusial bagi siapa pun yang ingin memahami arsitektur komputer, desain sirkuit digital, atau dasar-dasar pemrograman tingkat rendah.
Inti dari aritmatika digital adalah sistem bilangan biner. Setiap digit dalam sistem ini disebut bit (binary digit). Untuk merepresentasikan bilangan desimal (basis 10) ke dalam biner (basis 2), kita menggunakan perpangkatan dua. Misalnya, bilangan desimal 5 direpresentasikan sebagai $101_2$ karena $(1 \times 2^2) + (0 \times 2^1) + (1 \times 2^0) = 4 + 0 + 1 = 5$.
Dalam praktiknya, data dikelompokkan dalam unit yang lebih besar seperti byte (8 bit), word (16, 32, atau 64 bit). Efisiensi dan kesederhanaan sistem biner memungkinkan implementasi fisik yang andal menggunakan transistor sebagai sakelar elektronik, yang menjadi dasar dari sirkuit digital.
Operasi aritmatika dasar—penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian—harus diadaptasi untuk bekerja dalam domain biner.
Penjumlahan biner mengikuti aturan yang sangat sederhana:
Pengurangan dalam komputasi modern jarang dilakukan secara langsung. Sebaliknya, pengurangan $A - B$ diubah menjadi penjumlahan dengan bilangan negatif: $A + (-B)$. Bilangan negatif ini direpresentasikan menggunakan metode komplemen dua (two's complement).
Untuk mendapatkan komplemen dua dari sebuah bilangan biner, kita membalik semua bit (komplemen satu) dan kemudian menambahkan 1. Penggunaan komplemen dua memungkinkan unit aritmatika dan logika (ALU) dalam CPU untuk melakukan penjumlahan dan pengurangan hanya dengan satu sirkuit penambah, menyederhanakan desain perangkat keras secara drastis.
Perkalian biner pada dasarnya adalah serangkaian pergeseran dan penjumlahan. Misalnya, perkalian $101_2 \times 11_2$ setara dengan menggeser $101$ ke kiri dan menjumlahkannya sesuai dengan bit pengali. Meskipun tampak rumit, algoritma seperti algoritma Booth memungkinkan perkalian yang efisien pada level sirkuit.
Demikian pula, pembagian dapat direduksi menjadi serangkaian operasi pengurangan dan pergeseran. Kemampuan mesin melakukan operasi kompleks ini hanya berbekal sirkuit yang mampu melakukan penjumlahan (menggunakan komplemen dua) adalah demonstrasi kecerdasan dari desain aritmatika digital.
Semua operasi aritmatika digital ini dimungkinkan oleh penerapan Logika Boolean, yang menggunakan gerbang logika (AND, OR, NOT, XOR, dll.). Gerbang-gerbang ini adalah blok bangunan fisik yang mengambil input biner dan menghasilkan output biner berdasarkan aturan aljabar Boolean. Misalnya, gerbang XOR sangat penting dalam mendeteksi penjumlahan tanpa carry, sementara gerbang AND dan OR digunakan dalam sirkuit yang lebih kompleks.
Singkatnya, aritmatika digital adalah jembatan antara dunia matematika abstrak dan realitas fisika sirkuit elektronik. Setiap perhitungan yang dilakukan oleh perangkat digital, sekecil apa pun, adalah hasil dari manipulasi bit berdasarkan aturan biner yang ketat, yang diatur oleh prinsip-prinsip aljabar Boolean. Tanpa fondasi yang kokoh ini, revolusi komputasi yang kita nikmati hari ini tidak akan pernah terjadi.