Mengenal Barisan Aritmatika: 2, 9, 16, 23

Barisan aritmatika adalah salah satu konsep fundamental dalam matematika yang mempelajari urutan bilangan di mana selisih antara dua suku yang berurutan selalu konstan. Konsep ini sangat berguna dalam berbagai aplikasi praktis, mulai dari perencanaan keuangan hingga analisis data sekuensial. Kali ini, kita akan membedah secara mendalam barisan bilangan spesifik: 2, 9, 16, 23, ...

1. Identifikasi Suku Pertama dan Beda (Selisih)

Langkah pertama dalam menganalisis barisan aritmatika adalah menentukan suku pertama ($U_1$) dan beda ($b$) antar suku.

• Suku Pertama ($U_1$): Angka pertama dalam barisan adalah 2. Jadi, $U_1 = 2$.
• Beda ($b$): Beda didapatkan dengan mengurangkan suku setelahnya dengan suku sebelumnya.
  • $U_2 - U_1 = 9 - 2 = 7$
  • $U_3 - U_2 = 16 - 9 = 7$
  • $U_4 - U_3 = 23 - 16 = 7$

Karena selisihnya selalu sama, yaitu 7, maka barisan 2, 9, 16, 23 terbukti merupakan barisan aritmatika dengan beda ($b$) = 7.

2. Menentukan Rumus Umum Barisan Aritmatika

Untuk memprediksi suku ke-n ($U_n$) dari barisan ini tanpa harus menghitung semua suku sebelumnya, kita menggunakan rumus umum barisan aritmatika:

Substitusikan nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumus:

Rumus umum untuk barisan 2, 9, 16, 23 adalah $U_n = 7n - 5$. Mari kita uji untuk suku ke-4 ($n=4$): $U_4 = 7(4) - 5 = 28 - 5 = 23$. Hasil ini sesuai.

3. Visualisasi Hubungan Beda

Diagram di atas menunjukkan secara visual bahwa untuk berpindah dari satu suku ke suku berikutnya (misalnya dari 2 ke 9, atau dari 9 ke 16), operasi matematika yang dilakukan adalah penambahan konstan sebesar 7. Inilah inti dari sifat aditif barisan aritmatika.

4. Aplikasi dan Proyeksi Barisan

Dengan rumus $U_n = 7n - 5$, kita dapat dengan mudah memproyeksikan suku-suku selanjutnya dalam urutan ini.

Menghitung Suku ke-10 ($U_{10}$)

Menggunakan rumus: $U_{10} = 7(10) - 5 = 70 - 5 = 65$. Suku ke-10 dari barisan ini adalah 65.

Menghitung Suku ke-50 ($U_{50}$)

Proses ini menunjukkan kekuatan rumus umum. Bayangkan jika kita harus menghitung hingga suku ke-50 secara manual, itu akan memakan waktu lama. $U_{50} = 7(50) - 5 = 350 - 5 = 345$.

Barisan aritmatika 2, 9, 16, 23... merupakan contoh sederhana namun kuat mengenai bagaimana keteraturan matematika memungkinkan prediksi yang akurat terhadap pola yang berkelanjutan. Meskipun tampak sederhana, pemahaman mendalam tentang beda dan rumus umum adalah kunci untuk menguasai topik ini lebih lanjut, termasuk perhitungan jumlah total suku dalam barisan tersebut.

Kesimpulan

Barisan 2, 9, 16, 23 adalah sebuah barisan aritmatika yang didefinisikan oleh suku awal $a=2$ dan beda tetap $b=7$. Dengan rumus umum $U_n = 7n - 5$, setiap elemen dalam urutan ini dapat ditentukan secara efisien. Analisis ini menegaskan sifat linier dari pertumbuhannya.