Memahami Aritmatika Biner: Dasar Komputasi

Semua operasi yang dilakukan oleh komputer, mulai dari membuka dokumen hingga menjalankan aplikasi kompleks, pada dasarnya berakar pada sistem bilangan biner. Sistem ini, yang hanya menggunakan dua digit—0 dan 1—adalah bahasa fundamental dari perangkat keras digital. Memahami aritmatika biner bukan hanya latihan akademis; ini adalah kunci untuk mengerti bagaimana data diproses pada tingkat terendah.

Sistem bilangan desimal (basis 10) yang kita gunakan sehari-hari memiliki sepuluh simbol (0-9). Sementara itu, sistem biner (basis 2) hanya memiliki dua simbol. Setiap posisi dalam bilangan biner mewakili pangkat dari 2 (misalnya, $2^0, 2^1, 2^2$, dan seterusnya, bergerak dari kanan ke kiri). Nilai 1011 dalam biner setara dengan $1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$, atau $8 + 0 + 2 + 1 = 11$ dalam desimal.

Operasi Dasar Aritmatika Biner

Sama seperti desimal, aritmatika biner melibatkan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Karena keterbatasan simbol (hanya 0 dan 1), operasi ini menjadi sangat terstruktur.

1. Penjumlahan Biner (Binary Addition)

Penjumlahan biner mengikuti empat aturan dasar, yang jauh lebih sederhana daripada penjumlahan desimal:

• 0 + 0 = 0 (Tidak ada bawaan/carry)
• 0 + 1 = 1 (Tidak ada bawaan)
• 1 + 0 = 1 (Tidak ada bawaan)
• 1 + 1 = 0 (Dengan bawaan 1 ke kolom berikutnya)

Ketika hasil penjumlahan menghasilkan nilai 2 (yaitu 1 + 1), kita tulis 0 dan 'membawa' 1 ke kolom di sebelah kirinya, mirip dengan sistem puluhan pada desimal.

Contoh Penjumlahan

Misalnya, menjumlahkan 5 (101) dan 3 (011):

Kolom	Bit 2	Bit 1	Bit 0
Carry In	1	1	0
Angka Pertama (5)	1	0	1
Angka Kedua (3)	0	1	1
Hasil	1	0	0

Hasilnya adalah 1000, yang setara dengan 8 dalam desimal ($5 + 3 = 8$).

2. Pengurangan Biner (Binary Subtraction)

Pengurangan biner dilakukan dengan aturan dasar berikut:

• 0 - 0 = 0
• 1 - 0 = 1
• 1 - 1 = 0
• 0 - 1 = 1 (Membutuhkan peminjaman/borrow dari kolom sebelah kiri)

Operasi peminjaman (borrow) sangat penting. Jika kita harus mengurangkan 1 dari 0, kita meminjam 1 dari bit paling kiri yang bernilai 1. Peminjaman ini menambahkan nilai 2 ke bit yang dipinjami (karena basisnya adalah 2), sehingga 0 menjadi 10 (atau 2 desimal), dan operasi 10 - 1 menghasilkan 1.

3. Perkalian Biner (Binary Multiplication)

Perkalian biner bahkan lebih sederhana daripada penjumlahan, karena kita hanya mengalikan dengan 0 atau 1:

• 0 dikali apapun = 0
• 1 dikali apapun = angka itu sendiri

Prosesnya mirip perkalian panjang dalam desimal. Setiap baris hasil parsial hanya akan berisi angka asli atau nol, yang kemudian dijumlahkan menggunakan aturan penjumlahan biner yang telah dibahas sebelumnya.

Contoh Perkalian

Misalnya, 101 (5) dikali 11 (3):

        101 (5)
      x  11 (3)
      -------
        101  (101 x 1)
      1010   (101 x 1, digeser satu posisi)
      -------
      1111   (Hasil Penjumlahan: 15 dalam desimal, 5 x 3 = 15)
        

Pentingnya Representasi Dua Komplemen

Meskipun penjumlahan dan perkalian dasar sangat mudah dipahami, pengurangan dalam implementasi perangkat keras sering kali tidak dilakukan secara langsung. Sebaliknya, komputer menggunakan metode yang disebut Dua Komplemen (Two's Complement) untuk merepresentasikan bilangan negatif.

Pengurangan $A - B$ diubah menjadi penjumlahan $A + (-B)$. Untuk menemukan $-B$, kita mengambil inversi semua bit dari $B$ (satu komplemen) dan menambahkan 1. Metode ini sangat efisien karena sirkuit yang sama dapat digunakan untuk penjumlahan dan pengurangan, menyederhanakan desain mikroprosesor secara signifikan.

Kesimpulan

Aritmatika biner adalah fondasi yang memungkinkan komputasi modern. Dari gerbang logika dasar hingga unit pemrosesan sentral (CPU) yang rumit, semua operasi matematis diubah menjadi serangkaian operasi AND, OR, dan penambahan/pengurangan yang efisien menggunakan representasi 0 dan 1. Menguasai konsep dasar ini memberikan wawasan mendalam tentang cara kerja mesin yang kita gunakan setiap hari.