Panduan Lengkap Cara Mencari Aritmatika

Ilustrasi dasar barisan aritmatika: suku awal ditambah beda secara konstan.

Memahami Konsep Dasar Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah urutan bilangan di mana selisih antara suku yang berurutan selalu konstan. Selisih konstan inilah yang disebut sebagai **beda** ($b$). Mempelajari cara mencari suku-suku dalam barisan aritmatika adalah fundamental dalam aljabar dasar dan seringkali muncul dalam berbagai masalah matematika terapan.

Untuk memulai pencarian atau analisis barisan aritmatika, kita perlu mengidentifikasi dua komponen utama:

Suku Pertama ($a$ atau $U_1$): Ini adalah elemen pertama dalam urutan tersebut.
Beda ($b$): Didapatkan dari pengurangan suku mana pun dengan suku sebelumnya (contoh: $U_2 - U_1$ atau $U_n - U_{n-1}$).

Rumus Utama untuk Menemukan Suku ke-n ($U_n$)

Salah satu pertanyaan paling umum dalam aritmatika adalah menentukan nilai suku pada posisi tertentu tanpa harus menuliskan seluruh urutannya. Rumus umum untuk mencari suku ke-$n$ ($U_n$) pada barisan aritmatika adalah:

$U_n = a + (n - 1)b$

Di mana:

$U_n$ adalah suku yang ingin dicari (suku ke-$n$).
$a$ adalah suku pertama.
$n$ adalah urutan suku yang dicari (posisi suku).
$b$ adalah beda antar suku.

Contoh Penerapan Rumus $U_n$

Misalkan kita memiliki barisan: 3, 7, 11, 15, ...

Langkah 1: Identifikasi $a$ dan $b$.

Suku pertama ($a$) = 3.
Beda ($b$) = $7 - 3 = 4$.

Langkah 2: Cari suku ke-10 ($n=10$).

$U_{10} = a + (10 - 1)b$
$U_{10} = 3 + (9) \times 4$
$U_{10} = 3 + 36$
$U_{10} = 39$

Jadi, suku ke-10 dari barisan tersebut adalah 39.

Cara Mencari Beda ($b$) Jika Diketahui Dua Suku

Dalam skenario lain, Anda mungkin hanya diberikan dua suku dari barisan tersebut tanpa mengetahui suku pertama atau bedanya secara eksplisit. Anda dapat menghitung beda ($b$) menggunakan hubungan antara dua suku yang diketahui.

Jika diketahui suku ke-$m$ ($U_m$) dan suku ke-$n$ ($U_n$), rumusnya adalah:

$b = \frac{U_n - U_m}{n - m}$

Ini adalah cara mencari "tingkat kenaikan" rata-rata antara dua titik dalam urutan tersebut.

Contoh Penerapan Mencari Beda

Jika diketahui suku ke-5 ($U_5$) adalah 20 dan suku ke-12 ($U_{12}$) adalah 41.

Kita gunakan $n=12$ dan $m=5$.

$b = \frac{U_{12} - U_5}{12 - 5}$
$b = \frac{41 - 20}{7}$
$b = \frac{21}{7}$
$b = 3$

Beda dari barisan tersebut adalah 3.

Menentukan Suku Pertama ($a$) Setelah Beda Ditemukan

Setelah Anda berhasil menemukan beda ($b$), Anda dapat dengan mudah menemukan suku pertama ($a$) dengan memanipulasi rumus suku ke-$n$:

$a = U_n - (n - 1)b$

Menggunakan contoh sebelumnya ($U_5 = 20$ dan $b=3$):

$a = U_5 - (5 - 1)b$
$a = 20 - (4) \times 3$
$a = 20 - 12$
$a = 8$

Maka, barisan aritmatika tersebut dimulai dari 8, dengan beda 3 (yaitu: 8, 11, 14, 17, 20, ...).

Pentingnya Memahami Konteks

Dalam banyak soal, terutama yang berkaitan dengan aplikasi dunia nyata (seperti pertumbuhan investasi atau penurunan harga), kunci utama untuk menyelesaikan masalah aritmatika adalah dengan benar mengidentifikasi apakah pola yang terjadi bersifat penambahan/pengurangan konstan (aritmatika) atau perkalian/pembagian konstan (geometri). Dengan menguasai cara mencari $a$, $b$, dan $U_n$, Anda telah menguasai fondasi untuk menjawab hampir semua pertanyaan seputar deret aritmatika.