Barisan geometri adalah salah satu konsep dasar dalam matematika yang sering muncul dalam berbagai perhitungan, mulai dari pertumbuhan populasi hingga peluruhan radioaktif. Karakteristik utama dari barisan ini adalah adanya rasio tetap (disebut rasio umum atau r) antara suku yang berurutan. Menyelesaikan barisan geometri biasanya berarti menemukan suku ke-n, jumlah n suku pertama, atau rasio umum itu sendiri.
Ilustrasi: Hubungan antar suku dalam barisan geometri.
Barisan geometri didefinisikan oleh dua komponen penting: suku pertama (a atau U₁) dan rasio umum (r). Rasio umum didapatkan dengan membagi suku manapun dengan suku sebelumnya. Jika Anda memiliki barisan 3, 6, 12, 24, maka a = 3 dan r = 6/3 = 2.
Rumus umum untuk mencari suku ke-n (Un) dari barisan geometri adalah:
Un = a · r⁻⁺
Di mana:
Un adalah suku ke-n yang dicari.a adalah suku pertama.r adalah rasio umum.n adalah urutan suku.Untuk menyelesaikan masalah yang meminta Anda menemukan suku tertentu (misalnya, suku ke-10), ikuti langkah-langkah berikut:
r = U₂ / U₁). Pastikan rasio ini konsisten untuk suku-suku berikutnya.a, r, dan n ke dalam rumus Un = a · r⁻⁺ dan hitung hasilnya.Contoh Kasus Suku ke-n: Jika suku pertama adalah 4 dan rasio umumnya 3, berapakah suku kelima (U₅)?
Diketahui: a = 4, r = 3, n = 5.
Perhitungan: U₅ = 4 · 3⁻⁺ = 4 · 3⁴ = 4 · 81 = 324. Jadi, suku kelimanya adalah 324.
Terkadang, yang diminta bukanlah suku tertentu, melainkan total penjumlahan dari beberapa suku awal barisan tersebut. Ini disebut Sn.
Terdapat dua rumus utama untuk Sn, tergantung pada nilai rasio r:
Sn = a (r⁻⁺ − 1) / (r − 1)
Sn = a (1 − r⁻⁺) / (1 − r)
Penggunaan dua rumus ini bertujuan untuk menghindari hasil negatif pada penyebut, meskipun secara matematis hasilnya akan tetap sama.
Contoh Kasus Jumlah Suku: Tentukan jumlah 4 suku pertama dari barisan 2, 6, 18, 54, ...
Diketahui: a = 2. Rasio r = 6/2 = 3. Karena r = 3 (lebih besar dari 1), kita gunakan rumus A. n = 4.
Perhitungan: S₄ = 2 (3⁴ − 1) / (3 − 1) = 2 (81 − 1) / 2 = 80. Jumlah empat suku pertamanya adalah 80.
Jika rasio r berada di antara -1 dan 1 (-1 < r < 1), maka barisan tersebut konvergen, yang berarti penjumlahan semua suku hingga tak terhingga memiliki nilai yang terbatas. Ini adalah bagian paling menarik dalam menyelesaikan barisan geometri.
Rumus jumlah tak hingganya adalah:
S∞ = a / (1 − r)
Penyelesaian ini sangat berguna untuk masalah deret tak terbatas, misalnya, bola yang memantul semakin rendah setiap pantulan. Jika sebuah bola dipantulkan dari ketinggian 10 meter dan rasio pantulannya adalah 0,5, maka total jarak yang ditempuh bola hingga berhenti dapat dihitung menggunakan rumus ini.
Menyelesaikan barisan geometri bergantung pada kemampuan Anda mengidentifikasi dua parameter utama: suku pertama (a) dan rasio umum (r). Setelah kedua nilai ini ditemukan, Anda dapat dengan mudah beralih antara mencari suku ke-n menggunakan rumus eksponensial dasar, atau menghitung jumlah suku menggunakan rumus Sn yang disesuaikan berdasarkan nilai r. Menguasai rumus-rumus ini akan mempermudah Anda dalam menghadapi berbagai tantangan matematika deret dan barisan.