Barisan bilangan adalah salah satu konsep fundamental dalam matematika, dan salah satu jenis yang paling sering dijumpai adalah barisan aritmatika. Barisan aritmatika dicirikan oleh adanya selisih yang konstan antara suku-suku yang berurutan. Dalam pembahasan ini, kita akan membedah secara detail barisan bilangan spesifik: 2, 7, 12, 17.
Ketika kita diberikan deretan angka seperti 2, 7, 12, 17, langkah pertama dalam menganalisisnya sebagai barisan aritmatika adalah menentukan suku pertama ($a_1$) dan beda antar suku ($b$).
Suku pertama, yang merupakan elemen awal dari barisan, jelas adalah $a_1 = 2$.
Selanjutnya, kita harus menghitung beda ($b$). Beda diperoleh dengan mengurangkan suku sesudahnya dengan suku sebelumnya:
Karena hasilnya konsisten, yaitu 5, maka kita mengonfirmasi bahwa barisan 2, 7, 12, 17 adalah barisan aritmatika dengan beda ($b$) sebesar 5.
Visualisasi di atas menunjukkan bagaimana setiap langkah (penambahan n) menghasilkan peningkatan yang sama dalam nilai suku.
Untuk memprediksi suku lain dalam barisan ini—misalnya, suku ke-10 atau suku ke-100—kita memerlukan rumus umum barisan aritmatika. Rumus ini didefinisikan sebagai:
Di mana:
Mari kita substitusikan nilai $a_1$ dan $b$ dari barisan 2, 7, 12, 17 ke dalam rumus tersebut:
Untuk menyederhanakannya lebih lanjut:
Rumus $a_n = 5n - 3$ ini adalah kunci untuk menentukan elemen apapun dalam barisan ini. Mari kita uji rumus ini pada suku-suku yang sudah diketahui:
Menggunakan rumus yang telah kita validasi, kita dapat dengan mudah mencari suku ke-20 ($a_{20}$):
Ini menunjukkan kekuatan barisan aritmatika. Hanya dengan mengetahui beberapa suku awal dan bedanya, kita mampu mengekstrapolasi pola hingga ke suku yang sangat jauh. Barisan aritmatika, meskipun tampak sederhana, menjadi dasar penting bagi studi tentang deret dan kalkulus integral di tingkat yang lebih lanjut.
Barisan 2, 7, 12, 17 memberikan contoh sempurna dari pola pertumbuhan yang teratur. Dengan suku awal $a_1 = 2$ dan beda konstan $b = 5$, barisan ini dapat dijelaskan secara matematis menggunakan rumus umum $a_n = 5n - 3$. Pemahaman terhadap konsep suku pertama dan beda adalah langkah krusial dalam menguasai materi barisan dan deret aritmatika di dunia matematika.