Barisan aritmatika adalah salah satu konsep dasar dalam matematika yang mempelajari urutan bilangan di mana selisih antara suku-suku yang berurutan selalu konstan. Selisih konstan ini dikenal sebagai beda ($d$). Memahami barisan ini sangat penting karena banyak fenomena di dunia nyata, mulai dari pola pertumbuhan hingga pergerakan objek, dapat dimodelkan menggunakan deret aritmatika.
Fokus pembahasan kita kali ini adalah pada barisan spesifik yang dimulai dengan angka 5, yaitu: 5, 9, 13, 17, ...
Untuk mengidentifikasi sifat dari barisan ini, langkah pertama adalah mencari tahu beda antar sukunya. Mari kita hitung selisihnya:
Dari perhitungan di atas, dapat dipastikan bahwa barisan ini adalah barisan aritmatika sejati dengan nilai beda ($d$) yang bernilai 4.
Ilustrasi menunjukkan peningkatan yang konsisten sebesar 4 antar suku.
Dalam matematika, suku ke-$n$ dari barisan aritmatika dapat ditemukan menggunakan rumus berikut:
$U_n = a + (n-1)d$
Di mana:
Dengan menggunakan rumus, kita bisa memprediksi suku-suku selanjutnya:
| n (Urutan Suku) | Perhitungan | Hasil ($U_n$) |
|---|---|---|
| 1 | $a$ | 5 |
| 2 | $5 + (2-1)4$ | 9 |
| 5 | $5 + (5-1)4 = 5 + 16$ | 21 |
| 10 | $5 + (10-1)4 = 5 + 36$ | 41 |
Misalnya, untuk mencari suku ke-20 ($U_{20}$):
$U_{20} = 5 + (20-1) \times 4 = 5 + (19 \times 4) = 5 + 76 = 81$.
Jadi, suku ke-20 dari barisan 5, 9, 13, 17, ... adalah 81.
Keistimewaan barisan aritmatika terletak pada konsistensi beda yang dimilikinya. Sifat konstan ini memungkinkan kita membuat prediksi yang akurat mengenai nilai suku yang sangat jauh di depan, tanpa perlu menghitung setiap langkahnya satu per satu. Jika beda antar suku tidak konstan (misalnya, 5, 9, 14, 20), maka barisan tersebut bukan barisan aritmatika, melainkan mungkin merupakan barisan geometri atau barisan bertingkat lainnya.
Dalam konteks pemrograman atau ilmu data, barisan seperti ini sering digunakan sebagai model sederhana untuk pertumbuhan linear. Ketika suatu proses meningkat dengan laju yang sama setiap periode waktu, model aritmatika menjadi alat yang tepat untuk memvisualisasikan atau menghitung hasilnya di masa depan. Oleh karena itu, kemampuan untuk segera mengidentifikasi $a$ dan $d$ dari barisan yang diberikan adalah keterampilan fundamental dalam analisis kuantitatif.
Untuk barisan 5, 9, 13, 17, dengan $d=4$, kita melihat bahwa setiap penambahan satu satuan pada urutan $n$ akan menghasilkan peningkatan nilai sebesar 4 pada suku $U_n$. Kejelasan ini membuat barisan aritmatika menjadi fondasi yang kokoh dalam studi urutan bilangan.