Memahami dan Menentukan Suku Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah salah satu konsep fundamental dalam matematika, khususnya dalam studi urutan dan deret. Karakteristik utama dari barisan aritmetika adalah adanya selisih yang konstan antara suku yang berurutan. Selisih konstan inilah yang disebut sebagai beda (biasanya dilambangkan dengan $b$ atau $d$). Memahami cara kerja barisan ini sangat penting untuk memprediksi nilai suku selanjutnya atau suku ke-n.

Ketika kita diberikan sebuah barisan bilangan, langkah pertama adalah mengidentifikasi apakah barisan tersebut termasuk jenis aritmetika atau bukan. Jika ya, kita perlu mencari suku pertama ($a_1$) dan bedanya ($b$).

Langkah Awal: Identifikasi Komponen Barisan

Dari barisan yang diberikan (1, 7, 13, 19), kita dapat dengan mudah menentukan dua komponen vital:

1. Suku Pertama ($a_1$): Suku pertama dari barisan ini jelas adalah 1.
2. Beda ($b$): Beda adalah selisih antara suku setelahnya dengan suku sebelumnya. Mari kita hitung:
   • $a_2 - a_1 = 7 - 1 = 6$
   • $a_3 - a_2 = 13 - 7 = 6$
   • $a_4 - a_3 = 19 - 13 = 6$
   Karena hasilnya selalu sama, maka beda ($b$) barisan ini adalah 6.

Rumus Umum Suku ke-n Barisan Aritmetika

Untuk menentukan suku ke-n (yang sering dilambangkan sebagai $a_n$) dari suatu barisan aritmetika, kita menggunakan rumus baku berikut:

Di mana:

• $a_n$ adalah suku ke-n yang dicari.
• $a_1$ adalah suku pertama.
• $n$ adalah urutan suku yang ingin dicari (misalnya, suku ke-10, maka $n=10$).
• $b$ adalah beda antar suku.

Menentukan Rumus Suku ke-n ($a_n$) untuk Barisan 1, 7, 13, 19

Sekarang kita substitusikan nilai $a_1 = 1$ dan $b = 6$ ke dalam rumus umum:

$a_n = 1 + (n - 1)6$

Langkah selanjutnya adalah menyederhanakan persamaan tersebut:

$a_n = 1 + 6n - 6$

Sehingga, rumus suku ke-n untuk barisan 1, 7, 13, 19 adalah:

Rumus ini memungkinkan kita untuk menemukan suku manapun dalam barisan tersebut tanpa perlu menghitung semua suku sebelumnya. Misalnya, jika kita ingin mencari suku ke-50, kita cukup mengganti $n$ dengan 50.

Verifikasi dan Penerapan Lanjutan

Penting untuk memverifikasi bahwa rumus yang kita dapatkan memang benar untuk suku-suku yang sudah diketahui:

• Untuk $n=1$: $a_1 = 6(1) - 5 = 6 - 5 = 1$ (Benar)
• Untuk $n=2$: $a_2 = 6(2) - 5 = 12 - 5 = 7$ (Benar)
• Untuk $n=3$: $a_3 = 6(3) - 5 = 18 - 5 = 13$ (Benar)
• Untuk $n=4$: $a_4 = 6(4) - 5 = 24 - 5 = 19$ (Benar)

Proses ini menunjukkan konsistensi dalam matematika urutan. Kemampuan untuk mengubah barisan data mentah menjadi sebuah fungsi aljabar (rumus $a_n$) adalah inti dari pemecahan masalah barisan aritmetika. Jika pertanyaannya adalah "tentukan $a$", ini biasanya merujuk pada suku ke-n, atau $a_n$. Dalam konteks yang lebih spesifik, kadang kala $a$ juga merujuk pada suku pertama ($a_1$), yang mana dalam kasus ini adalah 1. Namun, dalam konteks menentukan keseluruhan barisan, rumus $a_n$ adalah jawaban yang paling komprehensif.

Memahami $a_n = 6n - 5$ berarti kita telah berhasil memodelkan pola pertumbuhan linear dari barisan 1, 7, 13, 19. Pola pertumbuhan ini, yang ditandai dengan penambahan konstan 6 pada setiap langkah, adalah definisi paling murni dari barisan aritmetika. Kejelasan dalam menentukan $a_1$ dan $b$ adalah kunci utama untuk menghindari kesalahan perhitungan dalam proses substitusi.

Barisan aritmetika memiliki aplikasi luas, mulai dari perhitungan bunga sederhana, pertumbuhan populasi yang diasumsikan linear, hingga masalah fisika yang melibatkan percepatan konstan. Oleh karena itu, penguasaan teknik penentuan rumus suku ke-n adalah keterampilan matematika yang sangat berharga.

Kesimpulannya, untuk barisan 1, 7, 13, 19, jika yang dimaksud dengan "tentukan a" adalah rumus suku ke-n ($a_n$), maka jawabannya adalah $a_n = 6n - 5$. Jika yang dimaksud adalah suku pertama ($a_1$), maka jawabannya adalah 1.