Rangkaian aritmatika adalah jantung dari setiap sistem komputasi digital. Mereka adalah sirkuit elektronik yang dirancang untuk melakukan operasi matematika dasar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Pemahaman mendalam tentang bagaimana rangkaian ini bekerja sangat krusial dalam bidang teknik elektro dan ilmu komputer, karena hampir semua fungsi perangkat lunak, mulai dari grafis hingga pemrosesan data, pada akhirnya diterjemahkan menjadi serangkaian operasi aritmatika yang dilakukan oleh Unit Logika Aritmatika (ALU) di dalam Central Processing Unit (CPU).
Dasar dari rangkaian aritmatika modern terletak pada gerbang logika biner, seperti AND, OR, NOT, XOR, dan gerbang universal seperti NAND dan NOR. Dengan mengombinasikan gerbang-gerbang ini dalam konfigurasi tertentu, kita dapat membangun blok bangunan dasar yang mampu memproses informasi yang direpresentasikan dalam bentuk biner (0 dan 1).
Diagram sederhana representasi operasi penjumlahan biner.
Operasi aritmatika yang paling fundamental adalah penjumlahan. Untuk mewujudkan penjumlahan biner, kita menggunakan sirkuit yang disebut adder (penjumlah). Blok dasar pertama adalah Half Adder. Half Adder mengambil dua input biner (A dan B) dan menghasilkan dua output: Sum (S) dan Carry-Out (Cout). Half Adder dibangun menggunakan gerbang XOR untuk Sum dan gerbang AND untuk Carry-Out. Namun, keterbatasan Half Adder adalah ia tidak bisa menangani input Carry-In dari operasi sebelumnya.
Untuk mengatasi keterbatasan ini, dikembangkanlah Full Adder. Full Adder menerima tiga input: dua bit yang akan dijumlahkan (A dan B), dan satu bit bawaan dari penjumlahan sebelumnya (Carry-In, Cin). Ia menghasilkan Sum (S) dan Carry-Out (Cout). Full Adder dapat diimplementasikan dengan menggabungkan dua buah Half Adder dan satu gerbang OR. Struktur ini memungkinkan operasi aritmatika dilakukan secara berantai.
Dalam komputasi nyata, kita berhadapan dengan angka multi-bit (misalnya 8-bit, 32-bit, atau 64-bit). Untuk menjumlahkan dua angka N-bit, kita harus menghubungkan N buah Full Adder secara serial, di mana Carry-Out dari satu Full Adder menjadi Carry-In untuk Full Adder berikutnya. Topologi ini dikenal sebagai Ripple Carry Adder (RCA).
Meskipun RCA secara struktural sederhana dan mudah diimplementasikan, ia memiliki kelemahan signifikan terkait kecepatan. Penentuan bit hasil pada posisi ke-N bergantung pada hasil Carry-Out dari posisi ke-(N-1). Proses "merambat" (ripple) ini menyebabkan latensi (penundaan) yang meningkat seiring bertambahnya jumlah bit. Untuk sistem berkecepatan tinggi, penundaan propagasi Carry ini menjadi penghambat utama.
Untuk meningkatkan kecepatan, teknik yang lebih canggih seperti Carry Lookahead Adder (CLA) dikembangkan. Alih-alih menunggu Carry merambat dari bit paling rendah, CLA menghitung semua Carry secara paralel berdasarkan dua konsep utama: Generate (G) dan Propagate (P).
Dengan rumus Carry-Out yang diekspresikan langsung dalam G dan P, waktu tunda untuk menghasilkan Carry di setiap tahap menjadi konstan (atau jauh lebih kecil) dibandingkan RCA, karena tidak perlu menunggu sinyal merambat secara sekuensial. CLA adalah contoh klasik bagaimana desain rangkaian aritmatika beradaptasi untuk memenuhi tuntutan performa komputasi modern.
Meskipun penjumlahan adalah dasar, operasi lain seperti pengurangan, perkalian, dan pembagian juga diimplementasikan menggunakan prinsip rangkaian aritmatika. Pengurangan sering kali direduksi menjadi penjumlahan melalui metode komplemen dua. Misalnya, A - B sama dengan A + (-B), di mana -B direpresentasikan dalam format komplemen dua. Perkalian, pada dasarnya, adalah serangkaian penjumlahan berulang yang diimbangi (shifted summation), seringkali diimplementasikan melalui rangkaian yang disebut Array Multiplier atau Booth Multiplier. Pembagian, yang merupakan kebalikan dari perkalian, dilakukan melalui serangkaian operasi pengurangan dan pergeseran.
Singkatnya, rangkaian aritmatika adalah fondasi di mana seluruh dunia komputasi dibangun. Dari gerbang logika dasar hingga ALU yang kompleks, efisiensi dan kecepatan sirkuit-sirkuit ini secara langsung menentukan performa perangkat keras digital kita.