Dalam dunia komputasi dan teori bilangan, kita sering menjumpai berbagai sistem aritmatika modular. Salah satu konsep yang menarik dan mendasar adalah aritmatika U35. Meskipun mungkin terdengar spesifik, pemahaman mengenai aritmatika modulo 35 (U35) membuka wawasan penting mengenai bagaimana operasi bilangan bekerja dalam batasan siklus tertentu. Aritmatika modular, secara umum, adalah sistem di mana bilangan "membungkus" kembali ke nol setelah mencapai nilai tertentu, yang disebut modulus. Dalam konteks U35, pembungkusan terjadi setiap kali hasil mencapai atau melebihi 35.
Visualisasi dasar dari konsep siklus dalam aritmatika modular.
Dasar Operasi dalam U35
Aritmatika U35 melibatkan bilangan bulat dalam himpunan {0, 1, 2, ..., 34}. Setiap operasi yang dilakukan akan menghasilkan sisa pembagian ketika dibagi 35. Ini sangat penting dalam kriptografi dan ilmu komputer, di mana representasi bilangan terbatas diperlukan.
Penjumlahan Modular
Penjumlahan dalam U35 dilakukan dengan menjumlahkan dua bilangan, lalu mencari sisa pembagiannya terhadap 35. Sebagai contoh, jika kita menjumlahkan 20 dan 25 dalam U35:
(20 + 25) \bmod 35 = 45 \bmod 35 = 10.
Artinya, 45 setara dengan 10 ketika bekerja dalam sistem modulo 35. Jika penjumlahan menghasilkan bilangan negatif, kita perlu menambahkan kelipatan 35 yang cukup besar agar hasilnya positif, sebelum mengambil sisa pembagian.
Perkalian Modular
Sama halnya dengan penjumlahan, perkalian juga diambil sisa pembagiannya. Misalkan kita mengalikan 15 dengan 5 dalam U35:
(15 \times 5) \bmod 35 = 75 \bmod 35.
Karena $75 = (2 \times 35) + 5$, maka hasilnya adalah 5. Perkalian modular ini menjadi fondasi bagi banyak algoritma kunci publik.
Mengapa Angka 35 Penting?
Pemilihan modulus 35 (yang merupakan hasil perkalian dua bilangan prima kecil, $5 \times 7$) tidaklah acak dalam konteks tertentu. Dalam studi teori bilangan, bilangan komposit (bukan prima) seringkali memberikan karakteristik unik dibandingkan dengan aritmatika modulo prima. Ketika modulus adalah komposit, tidak semua elemen dalam himpunan tersebut memiliki invers perkalian.
Invers perkalian ($a^{-1}$) dari suatu bilangan $a$ dalam U35 adalah bilangan $x$ sedemikian rupa sehingga $(a \times x) \bmod 35 = 1$. Invers ini hanya ada jika faktor persekutuan terbesar (FPB) antara $a$ dan 35 adalah 1. Karena $35 = 5 \times 7$, maka bilangan yang memiliki FPB 1 dengan 35 adalah bilangan yang tidak habis dibagi 5 dan tidak habis dibagi 7.
Misalnya, 11 memiliki invers dalam U35 karena $\text{FPB}(11, 35) = 1$. Namun, 10 tidak memiliki invers karena $\text{FPB}(10, 35) = 5$. Kegagalan memiliki invers ini membedakan aritmatika U35 dari sistem modulo prima, di mana setiap elemen (kecuali nol) pasti memiliki invers.
Aplikasi Praktis U35 dalam Komputasi
Meskipun mungkin tampak teoretis, konsep aritmatika U35—atau aritmatika modulo komposit secara umum—sering muncul dalam perancangan sistem keamanan data dan generator bilangan acak. Dalam kriptografi, penggunaan modulus komposit memungkinkan para desainer untuk mengeksplorasi struktur aljabar yang lebih kompleks, yang terkadang dapat menambah lapisan keamanan atau, sebaliknya, menimbulkan kerentanan jika implementasi tidak hati-hati.
Untuk menghitung invers perkalian dalam U35, kita sering menggunakan Algoritma Euclidean Diperluas. Sebagai ilustrasi, mari kita cari invers dari 9 dalam U35. Kita mencari $x$ sedemikian hingga $(9x) \bmod 35 = 1$. Dengan penerapan algoritma, kita akan menemukan bahwa $9 \times 4 = 36$, dan $36 \bmod 35 = 1$. Jadi, invers dari 9 dalam U35 adalah 4.
Pemahaman mendalam tentang sifat-sifat pembagian dan sisa dalam U35 memastikan bahwa algoritma komputasi yang bergantung pada sifat siklus ini dapat beroperasi dengan benar dan efisien. Dengan membatasi ruang operasi ke 35 elemen, kita dapat memodelkan proses yang berulang atau berbasis periode secara akurat.
Kesimpulan
Aritmatika U35 adalah studi kasus yang sangat baik mengenai bagaimana bilangan berperilaku dalam lingkungan modular komposit. Operasi dasar seperti penjumlahan dan perkalian harus selalu melalui proses reduksi modulo 35. Tantangan utama terletak pada pembagian atau pencarian invers, yang hanya mungkin dilakukan untuk bilangan yang koprima terhadap 35. Memahami batasan dan peluang dalam sistem ini sangat penting bagi siapa pun yang mendalami teori bilangan terapan dan keamanan siber.