Di balik setiap perangkat digital yang kita gunakan sehari-hari—mulai dari ponsel pintar hingga superkomputer—terdapat fondasi matematika yang sederhana namun sangat kuat: aritmatika bilangan biner. Sistem bilangan biner, yang hanya terdiri dari dua digit (0 dan 1), adalah bahasa fundamental yang dipahami oleh sirkuit elektronik. Memahami operasi aritmatika biner bukan hanya latihan akademis, tetapi kunci untuk memahami cara kerja memori, pemrosesan data, dan logika digital.
Sistem desimal (basis 10) nyaman bagi manusia karena kita memiliki sepuluh jari. Namun, bagi komputer, yang bekerja menggunakan komponen elektronik seperti transistor, lebih mudah membedakan hanya dua keadaan: menyala (ON, mewakili 1) atau mati (OFF, mewakili 0). Konsep dua keadaan ini secara inheren cocok dengan konsep logika Boolean, yang menjadi dasar bagi semua operasi komputasi. Setiap digit 0 atau 1 dalam biner disebut bit.
Sama seperti sistem desimal, bilangan biner juga mendukung operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Namun, aturan carrying dan borrowing-nya sedikit berbeda.
Penjumlahan biner mengikuti empat aturan dasar. Ini adalah operasi yang paling sering dibahas karena menentukan bagaimana data diakumulasikan dalam prosesor.
Contoh penjumlahan: $101_2$ (5 desimal) ditambah $011_2$ (3 desimal).
Perhatikan bahwa pada kolom paling kanan, $1+1$ menghasilkan 0 dan menyimpan 1. Pada kolom tengah, $0+1$ ditambah carry $1$ menghasilkan 0 dan menyimpan 1.
Pengurangan biner melibatkan peminjaman (borrowing) dari kolom sebelah kiri ketika angka yang dikurangi lebih kecil dari pengurang.
Untuk menghindari kerumitan pengurangan langsung, komputer modern sering kali menggunakan teknik yang disebut Komplemen Dua untuk merepresentasikan bilangan negatif dan melakukan pengurangan sebagai penjumlahan.
Perkalian biner bahkan lebih sederhana daripada desimal karena pengali hanya bisa 0 atau 1. Aturannya mirip dengan perkalian desimal, tetapi melibatkan pergeseran dan penjumlahan.
Setiap operasi aritmatika ini diimplementasikan secara fisik menggunakan gerbang logika (AND, OR, NOT, XOR). Misalnya, penjumlahan biner tanpa carry persis sama dengan operasi XOR (Exclusive OR). Penjumlahan penuh (full adder) adalah sirkuit yang dirancang untuk menjumlahkan tiga bit (dua input dan satu carry-in) dan menghasilkan satu sum dan satu carry-out. Sirkuit inilah yang menjadi blok bangunan dasar bagi Unit Logika Aritmatika (ALU) di dalam CPU.
Penguasaan aritmatika biner memberikan wawasan mendalam tentang efisiensi komputasi. Semua perhitungan kompleks yang dilakukan oleh perangkat keras modern—mulai dari grafis 3D hingga kecerdasan buatan—pada dasarnya adalah urutan masif dari operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian biner yang diatur oleh instruksi-instruksi dasar. Oleh karena itu, memahami aritmatika bilangan biner adalah pintu gerbang pertama menuju dunia rekayasa komputer dan ilmu data tingkat lanjut.