Cara Mencari n dalam Aritmatika

Mencari nilai suku ke-n (sering dilambangkan sebagai $U_n$ atau $a_n$) merupakan salah satu keterampilan dasar dalam studi barisan dan deret aritmatika. Barisan aritmatika didefinisikan sebagai barisan bilangan di mana selisih antara suku yang berurutan selalu konstan. Selisih konstan inilah yang disebut beda ($b$). Memahami cara mencari suku ke-n sangat penting karena ini memungkinkan kita memprediksi nilai suku manapun dalam barisan tanpa harus mendaftar semua suku sebelumnya.

Memahami Komponen Dasar Barisan Aritmatika

Sebelum kita masuk ke rumus, kita perlu mengidentifikasi tiga komponen utama yang diperlukan untuk memecahkan masalah aritmatika:

Suku Pertama ($a_1$ atau $U_1$): Ini adalah nilai awal atau suku pertama dalam barisan.
Beda ($b$): Ini adalah selisih konstan antar suku. Dihitung dengan mengurangkan suku manapun dengan suku sebelumnya (misalnya, $b = a_2 - a_1$).
Posisi Suku ($n$): Ini adalah urutan suku yang ingin kita cari nilainya (misalnya, suku ke-10, suku ke-50, dll.).

Rumus Umum untuk Mencari Suku ke-n

Rumus baku yang digunakan untuk menentukan nilai suku ke-n dalam barisan aritmatika adalah sebagai berikut:

$U_n = a_1 + (n - 1)b$

Di mana:

$U_n$ adalah suku ke-n yang dicari.
$a_1$ adalah suku pertama.
$n$ adalah posisi suku yang ditanyakan.
$b$ adalah beda antar suku.

Langkah-Langkah Praktis Mencari $U_n$

Berikut adalah langkah-langkah sistematis untuk mengaplikasikan rumus tersebut:

Langkah 1: Identifikasi Suku Pertama ($a_1$)

Perhatikan barisan yang diberikan. Angka pertama yang muncul dalam barisan adalah $a_1$. Ini adalah titik awal perhitungan Anda.

Langkah 2: Hitung Beda ($b$)

Kurangi suku kedua dengan suku pertama. Pastikan selisihnya konsisten untuk barisan lain (jika tidak konsisten, itu bukan barisan aritmatika). Contoh: Jika barisan adalah 5, 8, 11, ... maka $b = 8 - 5 = 3$.

Langkah 3: Tentukan Posisi Suku ($n$)

Perjelas suku ke berapa yang ingin Anda cari. Jika pertanyaannya adalah "Berapa suku ke-20?", maka $n = 20$.

Langkah 4: Substitusi dan Hitung

Masukkan semua nilai ($a_1$, $n$, dan $b$) ke dalam rumus $U_n = a_1 + (n - 1)b$ dan lakukan perhitungan sesuai urutan operasi (kerjakan yang di dalam kurung terlebih dahulu).

Contoh Soal:
Diberikan barisan aritmatika: 3, 7, 11, 15, ... Tentukan suku ke-15 ($U_{15}$) dari barisan tersebut!

Penyelesaian:
1. $a_1 = 3$
2. $b = 7 - 3 = 4$
3. $n = 15$
4. $U_{15} = a_1 + (15 - 1)b$
$U_{15} = 3 + (14) \times 4$
$U_{15} = 3 + 56$
$U_{15} = 59$

Variasi Kasus: Mencari $n$ Ketika $U_n$ Diketahui

Terkadang, Anda mungkin diberikan nilai suku terakhir ($U_n$) dan diminta untuk mencari tahu posisinya ($n$) dalam barisan. Dalam kasus ini, kita perlu memanipulasi rumus utama untuk mengisolasi $n$.

Rumus aslinya: $U_n = a_1 + (n - 1)b$

Kita ubah menjadi:

$n = \frac{(U_n - a_1)}{b} + 1$

Di sini, kita kurangi suku terakhir dengan suku pertama, bagi hasilnya dengan beda, dan tambahkan 1. Hasilnya harus berupa bilangan bulat positif, karena $n$ merepresentasikan posisi. Jika hasilnya bukan bilangan bulat, maka nilai $U_n$ tersebut bukan merupakan anggota dari barisan aritmatika tersebut.

Pentingnya Memeriksa Konteks

Dalam konteks soal cerita matematika, pastikan Anda menginterpretasikan informasi dengan benar. Misalnya, jika sebuah barisan dimulai dengan 'suku ke-0' (walaupun jarang dalam aritmatika standar), atau jika urutan dimulai dari suatu nilai tertentu, ini dapat mempengaruhi penentuan $a_1$. Namun, secara umum, dalam soal matematika formal, suku pertama selalu dilambangkan sebagai $a_1$. Penguasaan langkah-langkah ini memastikan Anda dapat menyelesaikan hampir semua masalah terkait penemuan suku ke-n atau posisi suku dalam barisan aritmatika dengan efisien dan akurat.